Nieskończoność

Większość z nas ma na co dzień kontakt z małymi liczbami. Wypracowaliśmy całkiem dobrą intuicję pozwalającą ocenić wyniki działań bez ich przeprowadzania, bez problemu porównujemy liczebność zbiorów. Jednak gdy zaczynamy rozmawiać o zbiorach nieskończonych nasze doświadczenia kierują nas na manowce. Dzisiaj porozmawiamy sobie o nieskończoności a dokładniej o nieskończonych zbiorach.

Co to jest zbiór wiadomo. Już w przedszkolu uczyliśmy się o zbiorach gruszek i jabłek. Wiemy co to część wspólna zbioru oraz podzbiór. Z drugiej strony wydaje się, że nieskończoność też jest prosta do wyjaśnienia. To taka bardzo, bardzo duża liczba. Nie jest to do końca prawda gdyż łatwo można wykazać, że nie istnieje największa liczba. Gdyby bowiem taka istniała to po dodaniu do niej jedynki otrzymalibyśmy liczbę jeszcze większą co prowadzi do jawnej sprzeczności.

Nieskończoność nie jest więc konkretną liczbą. Jest raczej ideą, możliwością dowolnie dużego powiększania liczby lub zbioru. Z tego powodu nieskończoność ma pewne własności, które przeczą zdrowemu rozsądkowi wychowanemu na zbiorach skończonych.

Matematycy dzielą się na tych, którzy zaczynają wykład od słów “już Galileusz…” oraz tych, którzy mówią “jeszcze Galileusz…”. Korzystając więc z ich przykładu powiem, że już Galileusz podał przykład paradoksu dotyczącego zbioru liczb naturalnych (czyli 1, 2, 3, 4…): rozważmy zbiór liczb naturalnych i jego podzbiór – zbiór liczb będących kwadratami. Liczba 4 jest kwadratem liczby 2 ponieważ 22=4. Podobnie 9 jest kwadratem 3. Oczywiste jest, że liczb będących kwadratami jest mniej niż wszystkich liczb naturalnych gdyż istnieją przecież jeszcze liczby takie jak 2, 3, 5 lub 8 niebędące kwadratami. Z drugiej jednak strony dla każdej liczby naturalnej można znaleźć jej kwadrat (mnożąc ją przez samą siebie) – z tego wynika, że kwadratów przynajmniej jest tyle samo co liczb naturalnych. Mamy więc sprzeczność.

Takich paradoksów związanych z nieskończonością jest więcej. Do ich wyjaśnienia konieczne okazało się wprowadzenie pojęcia mocy zbioru. Jest to taka uogólniona liczebność zbioru. Gdy porównujemy dwa bardzo duże zbiory to ciężko jest od razu stwierdzić, który z nich jest bardziej liczny. Można to jednak łatwo sprawdzić układając ich elementy jeden obok drugiego. Jeśli uda nam się połączyć w pary każdy element z obu zbiorów to znaczy, że są tak samo liczne. Podobnie działa moc zbioru. Jeśli uda nam się wymyślić funkcję łączącą elementy dwóch zbiorów w formie jeden do jednego to zbiory te mają tą samą moc. Dla zbiorów skończonych moc zbioru to po prostu liczba jego elementów.

Paradoks Galileusza daje się rozwiązać przez wskazanie funkcji przyporządkowującej każdemu elementowi ze zbioru liczb naturalnych dokładnie jeden element ze zbioru liczb będących kwadratami. Dla liczby n taka funkcja będzie zwracała n*n. Oznacza to, że te zbiory mają tą samą moc. Są równoliczne.

Dobrym przykładem na zaskakujące właściwości zbiorów nieskończonych jest hotel Hilberta. Jest to hotel wymyślony przez niemieckiego matematyka Davida Hilberta. W hotelu tym jest nieskończenie wiele pokojów ale wszystkie są zajęte przez gości. Do hotelu przyjeżdża nowy gość. Portier prosi każdego z gości o przeniesienie się do pokoju o numerze o jeden większym. W ten sposób pierwszy pokój staje się wolny.

To było proste. Co jednak gdy do hotelu przyjedzie autokarem wycieczka z nieskończoną liczbą uczestników? To też da się załatwić: wystarczy poprosić aby goście przenieśli się do pokoju o numerze dwa razy większym od obecnie zajmowanego. W ten sposób nieparzyste pokoje zostaną dla uczestników wycieczki.

Teraz czas na trudniejszy problem. Co jeśli musimy zakwaterować nieskończoną liczbę wycieczek, każda z nieskończoną liczbą wycieczkowiczów? I to da się zrobić choć sposób jest już bardziej skomplikowany. Na początek przenosimy obecnych gości hotelowych do pokojów o numerach dwa razy większych (tak jak w poprzednim przykładzie). Zostały nam wszystkie nieparzyste pokoje wolne. Potrzebna nam teraz będzie lista wszystkich liczb pierwszych (czyli takich, które się nie dzielą przez nic poza jedynką i samą sobą). Taka lista jest nieskończona i zaczyna się tak: 2, 3, 5, 7, 11, 13 itd. Dwójka jest jedyną parzystą liczbą pierwszą ale pokój o tym numerze jest już zajęty. Wszystkie pozostałe pokoje o numerach będących liczbami pierwszymi są jednak puste. Co więcej jeśli zaczniemy potęgować liczby pierwsze (3*3, 3*3*3, 3*3*3*3, …5*5, 5*5*5,…) to okaże się, że te pokoje też są puste. Przenieśmy więc osoby z pierwszego autokaru do pokojach o numerach 3, 32, 33, 34 itd. Następnie osoby z kolejnego autokaru do pokojach o numerach 5, 52, 53, 54 itd. Te nieskończone listy potęg są rozłączne, osoby z różnych autokarów nie trafią nigdy do tego samego pokoju. Udało nam się więc rozmieścić wszystkich gości. Jedynym mankamentem tej metody jest pozostawienie niektórych pokojów pustych.

Można pokazać, że nie będzie problemem rozszerzenie przykładu na nieskończoną liczbę lotniskowców wiozących nieskończoną liczbę samolotów z nieskończoną liczbą pasażerów. Trzy poziomy nieskończoności i nadal można znaleźć miejsce w hotelu! To jeszcze nie koniec, hotel Hilberta jest w stanie pomieścić nieskończenie wiele takich poziomów nieskończoności. Dowód jest dość skomplikowany ale nadal zasada jego przeprowadzenia jest ta sama: pokazujemy jak przyporządkować przyjezdnych gości do konkretnych pokojów.

Hotel Hilberta działa ponieważ za każdym razem mamy do czynienia ze zbiorami o tej samej mocy. Dlatego można między nimi zbudować relację jeden do jednego łączącą ich elementy. Nie wszystkie zbiory da się tak połączyć. Oprócz liczb naturalnych istnieje drugi zbiór liczb: rzeczywistych. Są to wszystkie liczby naturalne oraz liczby wymierne i niewymierne. Czyli oprócz liczb 1, 2, 3 zbiór ten zawiera także wszystkie liczby znajdujące się pomiędzy nimi. Zbiór liczb rzeczywistych jest większy niż zbiór liczb dających się wyrazić jako ułamki. Znana wszystkim liczba Pi jest niewymierna – to znaczy, że nie istnieją dwie liczby takie, że po ich podzieleniu dostaniemy Pi. Liczb niewymiernych jest nieskończenie wiele i też należą one do zbioru liczb rzeczywistych.

Zbiór liczb rzeczywistych różni się znacząco od zbioru liczb naturalnych. Nie da się zbudować funkcji łączącej elementy tych zbiorów na zasadzie jeden do jednego. Zbiór liczb rzeczywistych ma większą moc. Dowód przeprowadza się metodą nie wprost czyli zakładamy, że coś jest prawdą i wykazujemy, że prowadzi to do sprzeczności. Tym samym pierwotne założenie musiało być błędne.

Wyobraźmy sobie bardzo długi ułamek dziesiętny. Tak długi, że aż nieskończony. Jego początek może wyglądać tak:

0.1243837662981726…

Dołóżmy do niego kolejny i kolejny. Zróbmy z nich ciąg. Nieskończony ciąg ułamków dziesiętnych o nieskończonych rozwinięciach. Taki ciąg jest policzalny czyli ma tą samą moc co zbiór liczb naturalnych. Wystarczy numerować kolejne wyrazy tego ciągu w miarę ich dokładania aby stworzyć odwzorowanie jeden do jednego pomiędzy elementami ciągu a liczbami naturalnymi. Nazwijmy dla uproszczenia zbiór składający się ze wszystkich elementów tego ciągu jako S.

Zbiór S jest nieskończony bo nasz ciąg był nieskończony. Jednak nie zawiera on wszystkich możliwych ułamków dziesiętnych. Można to udowodnić pokazując ułamek z nieskończonym rozwinięciem, który na pewno do zbioru S nie należy.

Załóżmy dla przykładu, że początkowe elementy naszego ciągu wyglądają tak:

s1=0.1243837662981726…
s2=0.3782879207781726…
s3=0.1728354109287662…
s4=0.0092888763919906…
s5=0.6666662789009100…

Aby nasz nowy element s0 różnił się od każdego z występujących w ciągu zmienimy mu jedną cyfrę na kolejnych miejscach. Czyli pierwszą cyfrę po kropce zmienimy na różną niż 1 bo w s1 zaraz po kropce występuje jedynka. Druga cyfra po kropce musi być różna od 7 bo w s2 na tym miejscu jest siódemka. Nasz przykładowy element może więc wyglądać tak:

s0=0.22333…

Oczywiście elementów zbioru S jest nieskończenie wiele tak więc i cyfr w s0 jest nieskończenie wiele. Jednocześnie s0 nie występuje w zbiorze S. Zatem zbiór wszystkich możliwych ciągów ułamkowych jest „większy” od zbioru S a tym samym od zbioru liczb naturalnych. Zbiór ten jest nieprzeliczalny.

Dość oczywiste jest, że wynika z tego nieprzeliczalność zbioru liczb rzeczywistych. Zbiór ten ma moc większą niż zbiór liczb naturalnych. Mamy więc przynajmniej dwa rodzaje nieskończonych zbiorów.

Moc zbioru liczb naturalnych oznaczono jako ℵ0 (hebrajska litera alef z dolnym indeksem zero), zaś moc zbioru liczb rzeczywistych jako ℵ1. Dodatkowo ℵ0<ℵ1 oraz można wykazać, że ℵ0 jest najmniejszą z możliwych mocy.

Czy istnieją zbiory o mocy większej niż ℵ1? Okazuje się, że tak. Jeśli weźmiemy zbiór R i stworzymy zbiór T składający się ze wszystkich możliwych jego podzbiorów (tzw. potęgowanie zbioru) to moc zbioru T wyniesie 2moc zbioru R. Potęgując zbiór liczb naturalnych o mocy ℵ0 dostaniemy zbiór liczb rzeczywistych o mocy ℵ1, powtarzając potęgowanie otrzymamy zbiór o mocy ℵ2 itd.

Otrzymaliśmy więc różne poziomy nieskończoności i metodę na ich porównywanie i mierzenie. Teoria mnogości zajmująca się zbiorami oraz ich mocą została znacznie rozwinięta przez niemieckiego matematyka Georga Cantora. Przyczyniła się do rewolucji w matematyce powodując jej usystematyzowanie i usunięcie wielu paradoksów wynikających z niezbyt ścisłego zdefiniowania aksjomatów.

Co ciekawe teorie Cantora spotkały się z oporem środowiska matematyków ze względu na nieintuicyjność wielu własności nieskończoności. Był nazywany „szarlatanem”, „deprawatorem młodzieży” a jego prace jako „śmiechu warte”. Ze względu na filozoficzne konsekwencje teorii mnogości był krytykowany nawet przez chrześcijańskich teologów, którzy widzieli w „wielu nieskończonościach” ukrytą pochwałę politeizmu. Obecnie teorie Cantora uznaje się za podstawowe dla matematyki a samego Cantora za geniusza.

Dodaj komentarz

Twój adres email nie zostanie opublikowany. Pola, których wypełnienie jest wymagane, są oznaczone symbolem *

*