Zbliżają się wybory przyjrzyjmy się więc sprawie podstawowej czyli samemu głosowaniu.

Na mechanizm głosowania można spojrzeć z matematycznego punktu widzenia. Z jednej strony mamy głosujących z ich sympatiami politycznymi. Każdy z nich ma uporządkowaną listę kandydatów. Na pierwszym miejscu listy znajduje się najlepszy – zdaniem głosującego – kandydat, na drugim trochę gorszy. Z drugiej strony mamy wynik głosowania: pojedynczą listę kandydatów uszeregowaną zgodnie z “wolą ludu”. Tu znów kandydaci są uporządkowani według “jakości”.

System głosowania jest więc swego rodzaju funkcją. Na wejściu mamy zbiór list kandydatów uszeregowanych przez każdego z wyborców, na wyjściu pojedynczą listę. Aby taki system mógł być uznany za sprawiedliwy musi spełniać pewne kryteria. Dobór tych warunków może być dość arbitralny. Spójrzmy na trzy z nich:

1. Jednomyślność

   Jeśli kandydat A znajduje przed kandydatem B na wszystkich listach to powinno tak być również na końcowej liście.

2. Brak dyktatury

   Wynik głosowania nie może zależeć od jednego człowieka. Niedopuszczalna jest sytuacja gdy jeden z wyborców ustalając swoje preferencje powoduje taką samą kolejność w wynikach głosowania.

3. Niezależność nieistotnych alternatyw

   Ostatni warunek dotyczy kolejności podzbioru kandydatów na liście. Jeśli wyborcy ustalą, że kandydat A powinien być przed kandydatem B to ten wybór nie może się zmienić jeśli zmienimy kolejność pozostałych kandydatów. Można to zilustrować anegdotą przypisywaną filozofowi Sidneyowi Morgenbesserowi:

   Po skończeniu obiadu, Sidney Morgenbesser postanowił zamówić deser. Kelner informuje go, że ma dwa dania do wyboru: ciasto jabłkowe lub ciasto jagodowe. Sidney wybiera ciasto jabłkowe. Po kilku minutach kelner wraca i mówi, że mają także ciasto śliwkowe na co Morgenbesser odpowiada “W takim razie poproszę ciasto jagodowe”.

   Widać więc, że samo wprowadzenie dodatkowej możliwości zaburza ustaloną wcześniej kolejność wyboru co nie powinno mieć miejsca. Podobną sytuację mamy gdy umiera jeden z kandydatów. Niezależność nieistotnych alternatyw wymusza aby kolejność pozostałych nie zmieniła się. To czy kandydat A jest lepszy od kandydata B nie powinno zależeć od tego czy kandydat C żyje czy już umarł.

Mimo, że wszystkie trzy warunki wydają się proste i intuicyjne to okazuje się, że są one ze sobą sprzeczne. Ekonomista Kenneth Arrow w swojej pracy doktorskiej z 1950 roku wykazał, że jeśli mamy przynajmniej dwóch głosujących i przynajmniej trzy możliwości głosowania to nie istnieje metoda głosowania spełniająca jednocześnie trzy podane powyżej warunki. Arrow podał matematyczny dowód tego twierdzenia nie ma tu więc miejsca na wątpliwości – nie da się przeprowadzić “sprawiedliwego” głosowania.

Problem sprawia tu głównie trzeci warunek. Weźmy pod uwagę takie głosowanie:

1 głos na A>B>C
1 głos na B>C>A
1 głos na C>A>B

Gdy będziemy rozpatrywać pary kandydatów okaże się, że A wygrywa z B (dwóch głosujących uważa, że A jest lepsze niż B a tylko jeden, że B jest lepsze niż A), B wygrywa z C a C wygrywa z A. Jakakolwiek metoda głosowania większościowego doprowadzi do pojawienia się cyklu (pętli) w wyniku głosowania: A lepsze od B, B lepsze od C, C lepsze od A. Jest to wynik niedopuszczalny w głosowaniu.

Czy jest jakieś wyjście z tej sytuacji? Istnieją rozwiązania częściowe. Można rozluźnić trochę reguły. Wiele metod głosowania korzysta ze słabszych wersji warunku trzeciego. Można też dodać więcej informacji do kart głosowania. Twierdzenie Arrowa dotyczy tylko głosowania z rankingiem alternatyw oraz wymienionymi trzema warunkami. Jeśli zmieni się jedną z tych rzeczy nie będzie ono obowiązywało.

Idąc do urn pamiętajmy więc, że głosowanie i wybór najlepszego kandydata to nie taka prosta sprawa. Nawet jeśli mamy swojego faworyta.